上杭县教师进修学校 / 黄毕年

学生高阶思维的培养需要特定的训练，并融于具体的课程教学活动中。而传统运算练习设计中，不少教师习惯于设计标准化的良构问题，局限于事实性算理理解与程序性算法巩固的低阶思维层面，形成的只是机械的计算技能和惰性的计算知识，学生高阶思维的发展明显受限。为此，在运算练习设计方面，我们应创新运算练习设计，基于学生高阶思维的发展设计运算练习。下面，笔者结合实践阐述运算练习设计的策略思考。

一、情境复杂化

美国学者瑞斯尼克指出：“高阶思维具有不规则性、复杂性，能够形成多样化的问题解决方法，能够自我调节，具有不确定性等特质。”高阶思维孕育于复杂情境中，有助于解决劣构问题或复杂任务。复杂运算情境将学生置于问题的构成不规则、行动方向不明确，蕴含多种解决问题方法、途径的思考中，有助于增强学生解决劣构问题的思考力。然而，当前运算练习往往简化算式情境的表征，直接给学生呈现良构的抽象算式，忽略了现实世界中运算具有不确定性、多样性和复杂性的特点，切断了学生对数学算式的情境、背景、结构的识别与探究。事实上，学生运算能力的培养不是先从算式出发进行运算，而应是从复杂情境中提炼数量关系，创造出算式。这应是培养学生运算能力的出发点，也是发展学生高阶思维能力的必由之路。因此，以复杂情境表征算式，将算式融于全新的、不太熟悉的或未能直接预见的情境中，让学生在任务驱动下主动地思辨、比较、概括、发现、提取算式，有利于培养学生的高阶思维能力。

一方面，数学运算根植于现实生活，但只是简单地联系生活情境提出算式易让学生徘徊于肤浅思考、形式识别的低阶思维层面。只有基于学生已有生活经验不断创设新颖的、富于挑战的现实情境，才能让学生在不确定的复杂情境中主动思考、敏锐捕捉数学问题，参与算式提出的“再创造”过程。例如，在设计人教版四年级下册“小数加减法”的练习时，教师设计“有10元钱，想买一支水笔6.5元和一本笔记本3.7元，够吗？该怎样思考”，远比“有10元钱，买一支水笔6.5元，还剩下多少钱”更具挑战性、复杂性。前者将学生置于“不太熟悉的”“问题界定不明确”的复杂问题情境中，学生就能基于不同生活经验提出多种解决问题方案，如“6.5＋3.7、10-6.5、10-3.7”等诸多算式，并对算式作出解释计算与说理判断。这样的习题具有“比较、鉴别、阐明事物之间的异同”“找出支持的证据”“提出观点”等高阶思维特征，培养学生解决以“目标不限定”“解决问题方式多样”“没有可套用模式”“需要判断说理”为特征的劣构问题能力。

另一方面，数学运算本身就是数量关系的推演。借助特定数量关系将数学算式寓于复杂的数学情境中，能让学生体验到对数学算式的发现与提出不是轻易实现的，而是需要付出一定的心智努力，更有挑战性和吸引力。当然，这种复杂数学情境既不是数量关系的无限复杂化，更不是为情境而情境的简单复杂化，而是聚焦于特定数量关系加以表征的。例如，在设计人教版二年级上册“两位数减一位数”（退位减法）练习时，教师可不直接呈现相关算式，而是从不退位减法算式入手，让学生思考：“将27-5改变一个数字，使它变成一道退位减法算式，再计算。”这样就可以让学生认真观察算式，主动地进行分析与推理，提出如“24-5、23-5、22-5、21-5、20-5、27-8、27-9”等诸多算式。这里，从改造算式入手创设复杂的数学情境，学生需运用退位减法的法则进行“再创造”算式并计算，可以体验到解决劣构问题的开放性、非平衡性、随机性、不确定性等特性，引发高阶思维。

二、模式开放化

发散思维是开放式思维，是创造性思维的主要成分，是高阶思维的重要内涵之一。学生面临运算路径不明确、算法不单一，需付诸一定心智努力的开放性问题时，需经历开放、非线性、不确定的挑战性思维活动，这有利于孕育独立思考精神，培养思维的发散性。当前小学数学教材呈现的运算习题往往要求具体明确、运算模式单一、运算结果唯一，属于封闭的确定性数学范畴。教师较多关注的是学生的运算结果是否正确、运算过程是否严谨、运算速度是否迅速、运算书写是否规范等确定性的表现，较少考虑思维的求异性、发散性、创造性，极易形成呆滞的运算技能。事实上，运算不只是“算”，以算促思，发展数学思维特别是高阶思维是数学运算的应有目标。教师要建立运算习题的开放化思维模式，注重设计一题多算、一题多用、一题多问等开放性习题，体现高阶思维的自主性、不确定性、发散性等特点，彰显运算习题的思维价值。

一方面，教师要以开放眼光审视传统的封闭性运算习题，从运算的要求、数据、符号、结构等入手大胆改编、设计开放性习题，引发学生积极从事观察、分析、综合、推理、阐述、验证等数学活动。例如，设计人教版四年级下册“乘法运算定律”的练习时，教师可将传统的习题，如“4×17×25、17×25＋17×75”，整合成“试将‘17×25_____’编写成可以简算的算式，比一比，谁编得多，再简算”。这样就增强了习题运算的不确定性与挑战性，为学生提供更为宽敞的思维时空及灵活运用乘法运算定律参与运算的实践活动。再如，设计人教版二年级上册“乘加、乘减”的习题时，教师可从数据入手，将传统习题“3×6＋1”改编成“3×6＋2”，计算后再拓展延伸练习“3×6＋2=（  ）×（  ）-（  ）=（  ）×（  ）”。算式通过改编后，极大地拓展了思维空间，有利于学生一题多练，促进算式多样化转换，沟通乘加、乘减及乘法算式之间的内在关系，将学生的思维从“知道”“领会”引向“综合”“分析”等高阶层面。

另一方面，“数与代数”存在密切联系，两者构成小学数学课程内容的重要板块之一，体现了数学思维发展的整体性和连贯性。教师要基于两者的内在联系，以发展代数思维为导向设计一题多问的开放性习题，促进学生的数学思维由单纯的计算训练向早期代数思维提升。例如，教学人教版四年级下册“加法交换律”时，对于练习“55＋69=（ ）+（ ）”，教师不能简单停留于“55＋69=69＋55”层面，还可做如下开放性设计。（1）拓展：“怎样填写右边算式，使左边算式的计算变得简便？你是怎样想的？”学生可能会提出“55＋69=60＋64、55＋69=54＋70、55＋69=50＋74”等诸多算式，并阐明理由，这有利于学生在运算中深化理解代数思维的“相等关系”。（2）提炼：你能用一个等式表示上述所有算式之间的变化关系吗？学生经过讨论可能提出诸如“55＋69=（55＋a）＋（69-a）”或“55＋69=（55-a）＋（69＋a）”等，初步学会“使用数学模型表征并理解数量关系”的代数思维，将数学思维引向“分析”“创造”的高阶层面，渗透早期代数思维。

三、内容思辨化

相对于简单接受、机械复制的低阶学习而言，批判性思维是按一定标准，审视、评价、改进自己或他人思维活动的过程，主要体现为高阶思维“评价”维度的重要品质。批判性思维的发生是以学生的经验视角为背景，以探究性、思辨性的学习材料为依托的。当前运算练习，更多地强调“步骤清楚”“答案唯一”“又对又快”等，忽视了对运算过程中的基本算理、内在联系、推理过程及蕴含数学思想方法等运算内核的挖掘与表达、交流与碰撞，止步于显性的“会算”“算对”等浅层学习层面。事实上，运算看似一项执行性操作技能，实则是一项复杂的心智活动。运算练习不仅要强技能，更要长智慧。运算练习内容在强调运算技能训练的同时，还应具有一定的挑战性、迷惑性、释理性、实践性等思辨价值，引发学生主动地展开探究、发现、质疑、补充、释理、反思等批判性思维活动，促进学生深度参与运算学习。

一方面，教师要根据运算技能的特性和学生的认知经验特点，从运算的易错点、混淆点、创新点、实践点等探究处入手，设计思辨性练习让学生进行判断、说理、推理及运用，引发学生的认知共鸣与思维碰撞。例如，教学人教版四年级上册“商不变规律简便计算”时，教师可设计如下辨析题让学生判断、说理。

（1）1700÷500=3……200；（2）1700÷500=17÷5=3……2；

（3）1700÷500=（1700÷5）÷（500÷5）=340÷100=3……40。学生通过正例与错例的对比，有话可说，有理有据地展开数学交流与对话。这个过程不仅可以培养学生“欣赏肯定”“分析错误”“学会思辨”等评价技巧，还可以培养学生“包容和谦逊、判断和评估事实、基于理性和证据而改变自己、学会辨别”等批判性思维品质。

另一方面，指向批判性思维的思辨性练习，不只是“批判与否定”，而是“修正、完善和丰富”，其要义是让学生求知问学、增长见识、完善学识、重构认识。因此，教师还应根据运算过程“理法并融”的特性，注意从算理、算法入手设计思辨题，让一般性运算练习也具有批判性思维的价值。例如，在设计人教版四年级上册“三位数乘两位数”的练习时，教师可呈现105×24的竖式笔算过程，提出如下思辨性问题。（1）说一说：为什么可以这样算？你能用自己的语言说一说吗？（2）联一联：这种算法和以前学习的两位数乘两位数的算法有什么相同？（3）问一问：除了这样笔算，还可以怎样算？（4）想一想：运用这种方法还可以计算更多位数相乘的算式吗？请你举一例验证。学生对一般性运算练习展开多维度思考、质疑、判断和确认，对数学运算思考得更清晰、深远、灵活，培育了尊重事实、理性思辨、审慎怀疑、独立判断、包容异见等批判性思维品质。

四、结构关联化

所谓问题求解，是“一种包括回忆和组合相关规则以形成某种新的、更为复杂的规则的智力技能”，表现为布鲁姆教育认知目标分类体系中的“创造”水平。在数学练习中，数学思维的展开离不开具体素材，问题求解的实现很大程度上源于练习题组是否具有一定的关联性。当前运算练习，不少教师仅局限于“基本技能的形成，需要一定量的训练”的简单认识，重算轻思，重量轻质，更多地关注单一性习题的设计，而忽视了运算习题结构的设计与优化，导致题与题之间呈割裂、静态、孤立状态。这种松散、无序、欠结构化的练习，如同一盘散沙，不能让学生的思维在训练中逐层深入，提高问题求解的能力。学生也就难以通过关联比较、发现概括适应新情境的一般规则。而“高阶思维能力是超越简单回忆事实性知识技能的思维过程”。因此，在运算练习设计中，教师应跳出记忆性领会算理与机械性强化算法的低阶思维层面，精心设计关联性的结构化练习题组，让学生在运算后通过组合比较、观察发现，归纳出一般化的原理，获得一些新的规则和经验，并加以迁移运用、推理创造，提高学生问题求解的能力。

一方面，教师要有深邃的数学眼光，根据算式之间内在关系设计运算练习，让题与题之间形成结构化题组，实现应用迁移，彰显结构化练习魅力。例如，在设计人教版三年级下册“两位数乘两位数”的练习时，教师可呈现三组算式：①13×62与26×31；②68×43与34×86；③24×16与61×42。（1）算一算。笔算各组算式的积。（2）比一比。观察三组算式，哪组积相等？（①和②的积相等）积相等两个算式中因数有什么关系？概括出两位数乘两位数积相等的回文算式有着“因数十位上两个数字的积与个位上两个数字的积相等”的规律。（3）议一议。联系乘法意义，借助格子图画一画，说明积相等的回文算式的算理。（4）用一用。先写出积相等的回文算式，再笔算检验。这里，通过精选数据，把冰冷的零散算式串联改造成结构化题组，引发学生火热的思考，习得一般性“高阶规则”并加以解决运用，培养了学生举一反三的结构化思维能力。

另一方面，高阶思维的问题求解，不仅强调课时内容的点状关联。还重视跨课时、跨单元、跨领域甚至跨学科的线状关联。因此，教师还要注意根据运算练习中运算本质的一致性，适时设计跨度较大的关联性结构化题组，以培养学生的深度迁移能力。例如，在设计人教版五年级下册“小数加减法”练习时，教师可呈现如2.5＋0.16与25＋16、-题组练习。在计算后，教师引导学生比较小数、整数、分数的加减法有什么不同点？有什么相同点？在学生提炼出数的加减计算本质（将相同计数单位算一算）后，教师再让学生尝试运用这一般性规则迁移计算，如-、5a-2a等，进而获得具有普遍意义的问题求解方法，为后续进一步迁移学习其他数及算式的运算提供认知策略，发展学生的高阶思维能力。

总之，数学教学应基于发展学生的数学思维而展开，指向高阶思维的运算练习不是练习量的简单增加，也不是练习难度的刻意提高，而要着眼于发展学生数学思维的分析、评价、创造等高水平认知目标。据此，运算练习的设计应着力于情境的复杂化、模式的开放化、内容的思辨化及结构的关联化等策略，焕发运算练习的生机与活力，让学生真正参与到运算练习的深度学习、自主学习及个性化学习中，发展学生的数学核心素养。